直角坐标系下的二重积分计算步骤与典型例题
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1、直角坐标系下的二重积分的计算思路步骤
第一步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).
第二步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)
第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是，则分割积分区域)
第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)
第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平行于余变量对应的坐标轴、并且同向的有向直线穿过积分区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值)
第六步：余变先积分，最后积型变。
如果不考虑积分计算性质简化计算，则可以概括为以下25字计算过程：
画域图定型
投影求型限
画线定余限
余变先积分
最后积型变
2、直角坐标系下交换累次积分积分次序的解题思路与步骤
对于已经给出或者选择了次序得到的二重积分累次积分表达式，如果因为被积函数对应先积分的变量不可积的话，则需要改变积分次序。
对于这类问题的基本解题思路与步骤与上面给出的二重积分计算步骤一样，唯一不同的是在前面添加一个步骤，确定积分区域边界曲线的步骤：根据累次积分上下限确定积分区域边界曲线，令各积分变量等于各自的上下限即可得到构成积分的边界曲线图形，再根据积分变量大于等于下限，小于等于上限确定的取值范围。对于多个累次积分同时转换，则一次在同一坐标系中画出所有图形，最后再一起考虑。
具体步骤参考课件中给出的例题。
【注】课件中的X-型区域与Y-型区域，直接指的是简单X-型与简单Y-型区域。有关于直角坐标系中区域的分类参见课件列表后列出的更多阅读列表。
二重积分的直角坐标计算方法参考课件节选：
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